Halaman
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung37BAB IIBANGUN RUANG SISI LENGKUNGPeta KonsepKata Kunci1. Tabung2. Kerucut3. Bola4. Jaring-jaring5. Luas permukaan6. VolumeBangun Ruang sisi LengkungTabungKerucutBolaUnsur dan jaring-jaringLuas permukaanVolumeMerumuskan hubunganvolume dengan jari-jarijenisuntuk menentukanuntukMemecahkan masalah
38Matematika IX SMP/MTsA. Tabung (Silinder)Perhatikan gambar di samping. Bentuk apakah yangdimanfaatkan alat musik tersebut. Mengapa drum selaluberbentuk tabung?Sumber:www.orbiter.co.ukGambar 2.2 DrumDi sekitar kita banyak dijumpaibenda-benda yang merupakan refleksidari bangun ruang sisi lengkung. Bahkanbenda-benda tersebut sering kitagunakan baik sebagai peralatan maupunpermainan. Sebut saja bola, kelereng,kaleng minuman, bedug, terompet, dancorong. Jika demikian, benda-bendatersebut tidak asing lagi bagi kita.Sumber: www.tabloidnova.comGambar 2.1 Bedug salah satu aplikasi daritabungBenda-benda tersebut merupakan refleksi dari bangunruang yang berupa bola, tabung, dan kerucut. Akan lebihmenyenangkan jika kita dapat mengetahui berapa banyakbenda-benda tersebut menampung udara, air, serta berapapanjang dan luas kulit bola atau kaleng tersebut. Untuk itu kitaakan pelajari lebih lanjut dalam bab Bangun Ruang SisiLengkung.Setelah mempelajari bab ini diharapkan kalian dapatmengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut, dan bola sertamenghitung luas selimut dan volume bangun tersebut. Yang takkalah penting adalah kalian dapat memecahkan masalah yangberkaitan dengan bangun ruang tersebut.
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung39KegiatanIkuti langkah-langkah berikut ini.1.Sediakan satu buah kaleng susu bekas. Alangkah lebih baik jika masihada kertas labelnya.2.Amati dengan saksama kaleng tersebut.3.Lepaskan kertas label dari kaleng susu. Bentuk apa yang kalian peroleh?4.Coba gambarkan kaleng susu tersebut. Apakah seperti gambar berikutini?1.Unsur-unsur Tabung dan Melukis Jaring-jaringTabungSebelum kita mempelajari lebih lanjut mengenai tabung,coba sebutkan benda-benda di sekitar kalian yang berbentuktabung. Berikut ini akan kita pelajari berbagai hal tentangtabung.a.Unsur-unsur TabungDapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur sebuahtabung? Agar dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.Dari kegiatan tersebut kita akan dapat mengetahui unsur-unsur tabung. Salin dan isikan unsur-unsur itu pada tempat yangtersedia.a.Tinggi tabung ....b.Jari-jari alas tabung ... dan jari-jari atas tabung ....c.Diameter alas tabung ... dan diameter atap tabung ....ABECDtTr
40Matematika IX SMP/MTsd.Alas dan atap tabung berupa bidang datar yang berbentuk....e.Selimut tabung berupa bidang lengkung. Apabila dibukadan dilembarkan berbentuk ....b.Jaring-jaring TabungDari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwatabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:a.dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,b.satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnyaatau selimut tabung.Rangkaian dari ketiga bidang datar itu disebut sebagaijaring-jaring tabung.Coba kalian gambarkan jaring-jaring dari kaleng tersebut.Apakah kalian mendapatkan jaring-jaring tabung seperti gambarberikut?Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabungdengan jari-jari alas dan atapnya yang berupa lingkaran adalahr dan tinggi tabung adalah t.Gambar 2.3 Jaring-jaring tabung
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung41Jaring-jaring tabung terdiri atas:a.Selimut tabung yang berupa persegi panjang, denganpanjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.b.Dua lingkaran dengan jari-jari r.2.Menghitung Luas Selimut dan Volume TabungSebuah benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dantinggi t. Jika kalian ingin membuat tabung dari kertas yangukurannya tepat sama dengan ukuran benda tersebut,berapakah luas kertas yang kalian perlukan? Untukmenjawabnya, pelajari uraian materi berikut.a.Luas SelimutDengan memerhatikan gambar 2.3, kita dapat mengetahuibahwa luas seluruh permukaan tabung atau luas sisi tabungmerupakan jumlah dari luas alas ditambah luas selimut dan luasatap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaringtabung sekali lagi.L selimut = L persegi panjang = p × l = 2πππππr × t = 2πππππrtLuas alas = Luas lingkaran = πππππr2Luas atap = Luas lingkaran = πππππr2(b)t2πππππr(a)r○○○(c)r○○○
42Matematika IX SMP/MTsSehingga kita dapatkan rumus:Luas permukaan tabung = 2πππππr2 + 2πππππrt= 2πππππr (r + t)denganr= jari-jari lingkaran alas tabungt= tinggi tabungb.Volume TabungTabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n,dimana n mendekati tak hingga. Artinya, jika rusuk-rusuk padaalas prisma diperbanyak maka akan membentuk sebuah tabungdimana hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atasdan satu sisi tegak. Karena alas dan tutup tabung berbentuklingkaran maka volume tabung adalah perkalian luas daerahlingkaran alas dengan tinggi tabung.V = r2t atau V = d2tdenganr= jari-jari lingkaran alasd= diameter lingkaran alast= tinggi tabungContoh 2.11.Sebuah tabung memiliki tinggi 22 cm dan jari-jari lingkaranalasnya 7 cm.Hitunglah:a.luas selimut tabung,b.luas sisi tabung,147 cm22 cm
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung43Penyelesaian:a.Luas selimut tabung = 2πrt= × 7 × 22= 968 cm2b.Luas sisi tabung= 2πr (r + t)= 2 × × 7 × 8 (7 + 22)= 44 × 29= 1.276 cm22.Perhatikan gambar berikut.Jika kita ingin membuat kalengterbuka seperti gambar di samping,berapakah luas seng yang diperlukanuntuk membuatnya?Penyelesaian:Luas seng= Luas selimut + Luas alas tabung= (2πrt) + (πr2)= 2 × × 12 × 15 + ( × 12 × 12)= 2.640 + 452, 57= 3.092,57 cm23.Tentukan volume tabung dengan jari-jari alas 9 cm dantinggi tabung 18 cm?Penyelesaian:V= πr2t= 3,14 × 9 × 9 × 18 = 4.578,12 cm3Latihan 2.11.Jari-jari alas suatu tabung adalah 15 cm. Tentukan12 cm35 cm227227227
44Matematika IX SMP/MTstinggi tabung jika selimut tabung luasnya 2.065 cm2.2.Tentukan luas sisi tabung jika diketahui tinggi tabung 21 cm dan luasselimut tabung tanpa atap adalah 836 cm2.3.Sebatang kayu berbentuk silinder akan digunakan sebagai bahanbangunan. Untuk itu kayu tersebut dipotong sepanjang 1,5 m. Jika panjangkayu 4,5 m dan lebar 1,5 m, hitunglah:a.luas permukaan kayu setelah dipotong,b.volume kayu setelah dipotong.4.Tentukan luas seluruh permukaan bangun berikut.a.b.B. Kerucut1.Unsur-unsur Kerucut dan Melukis Jaring-jaringKerucutPerhatikan gambar di samping.Pernahkan kalian melihat bangunan ini?Jika kita cermati bentuknya, bangunantersebut merupakan refleksi dari bangunruang dengan sisi lengkung yaitu kerucut.Sumber: www.inculs.or.idGambar 2.4 Monumen Jogja Kembali227Gunakan nilai π= .8 cm2 cm4 cm16 cm30 cm4 cm
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung45a.Unsur-unsur KerucutUntuk lebih memahami unsur-unsur kerucut, dapat kitailustrasikan seperti pada gambar 2.5 berikut.Dengan mengamati gambar tersebut, kita dapat mengetahuiunsur-unsur kerucut dengan melengkapi pernyataan berikut.1)Tinggi kerucut = ....2)Jari-jari alas kerucut = ....3)Diameter alas kerucut = ....4)Apotema atau garis pelukis = ....b.Jaring-jaring KerucutBerdasarkan kegiatan dan gambar di atas kita ketahuibahwa kerucut tersusun dari dua bangun datar, yaitu lingkaransebagai alas dan selimut yang berupa bidang lengkung (juringlingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucuttersebut disebut jaring-jaring kerucut.Perhatikan gambar berikut.→Gambar 2.5 Abstraksi bentuk kerucutGambar 2.6 Jaring-jaring kerucut
46Matematika IX SMP/MTsGambar 2.6(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jarilingkaran alas r, tinggi kerucut t, apotema atau garis pelukis s.Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua buah bidangdatar yang ditunjukkan gambar 2.6 (b) yaitu:a.selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan panjang busur 2πr,b.alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.2.Menghitung Luas Selimut dan Volume KerucutDapatkah kalian menghitung luas bahan yang diperlukanuntuk membuat kerucut dengan ukuran tertentu? Perhatikanuraian berikut.a.Luas SelimutDengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahuibahwa luas seluruh permukaan kerucut atau luas sisi kerucutmerupakan jumlah dari luas juring ditambah luas alas yangberbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.Perhatikan gambar 2.7 (a).Busur AA1 = keliling lingkaran alas kerucut = 2πr.Luas lingkaran dengan pusat T dan jari-jari s = πs2 dankelilingnya = 2πs.AA'Tss2πrrGambar 2.7 (a) juring lingkaran (selimut kerucut) (b) bidang alas kerucut(a)(a)
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung47Jadi luas juring TAA1 atau luas selimut kerucut dapat ditentukan. = =Luas juring TAA1 = =πrsKarena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA1maka kita dapatkan:Luas selimut = πππππrsSedangkan luas permukaan kerucut= luas selimut + luas alas kerucut= πrs + πr2= πr (s + r)JadiLuas permukaan kerucut = πππππr(s + r)denganr= jari-jari lingkaran alas kerucuts= garis pelukis (apotema)b.Volume KerucutKerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnyaberbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskanvolume kerucut sebagai berikut.V = π π π π πr2tHubungan antara r, t dan apotema (s) adalah s2 = r2 + t2Luas busur AA1Keliling lingkaran=Luas juring TAA1Luas LingkaranLuas juring TAA12πr2πr2πrπr2 x 2πr2πr13
48Matematika IX SMP/MTsContoh 2.21.Diketahui jari-jari alas kerucut 8 cm dan tinggi kerucut15 cm. Tentukan:a.panjang apotema,b.luas selimut kerucut,c.luas sisi kerucut.Penyelesaian:a.Panjang apotema (s)=== = 17 cmb.Luas selimut= πrs= 3,14 × 8 × 15= 370,8 cm2c.Luas permukaan kerucut = πr (r + s)= 3,14 × 8 × (8 + 15)= 25,12 × 23= 577,76 cm22.Diameter alas suatu kerucut 16 cm dan panjangapotemanya 17 cm. Tentukan volume kerucut tersebut.Penyelesaian:Diameter = 16 cm, maka r = 8 cms= 17 cmt2= s2 – r2= 172 – 82t= 15 cm815s82+15264+225289
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung49maka volumenyaV= πr2t= × 3,14 × 82 × 15= 1.004,8 cm33.Sebuah kerucut dari selembar karton berbentuk setengahlingkaran dengan diameter 30 cm.Tentukan panjang jari-jari alas kerucut tersebut.Penyelesaian:Jari-jari karton = apotema kerucut = sLuas karton kerucut = luas selimut kerucutπrs= π× 10 × 10π× r× 10= 50πr=r= 5Jadi panjang jari-jari alas kerucut 5 cm.Latihan 2.21.Diketahui panjang apotema sebuah kerucut 10 cm dan jari-jari alasnya6 cm. Hitunglah luas sisi kerucut dengan nilai π = 3,14.2.Jari-jari alas suatu kerucut 7 cm dan tingginya 32 cm. Hitunglah luaspermukaan kerucut itu dengan π= .1313r2t10 cmSr1=10 cm1250π10π12
50Matematika IX SMP/MTs3.Perhatikan gambar berikut.Sebuah topi seperti di sampingmempunyai jari-jari lubang lingkaran5 cm. Berapa luas karton yangdiperlukan untuk membuat topitersebut?4.Suatu kerucut dibentuk dari selembar seng yang berbentuk setengahlingkaran yang berdiameter 14 m. Hitunglah:a.jari-jari alas,b.tinggi kerucut.5.Tentukan perbandingan volume kerucut danvolume tabung dengan gambar di samping.c.Luas Selimut dan Volume Kerucut Terpancung1)Luas selimutLuas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besardikurangi luas selimut kerucut kecil. Kerucut besar ACC'mempunyai tinggi t1, jari-jari r, dan apotema s1. Sedangkankerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t2, jari-jari r2, dan apotemas2.Luas selimut kerucut terpancung adalah luas selimutkerucut besar dikurangi luas selimut kecil.Luas selimut kerucut terpancung = πππππr1s1 – πππππr2s27 cm20 cmGambar 2.8 Kerucutterpancungs1s2ABCDB'C'tr2t2r
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung51Volume kerucut terpancung adalah volume kerucut besardikurangi volume kerucut kecil = πr12t1 – πr22.Volume kerucut terpancung = π π π π π( r12t1 – r22t2)Contoh 2.3Gambar di samping merupakan sebuah tutup lampu denganjari-jari lingkaran atas 5 cm dan jari-jari lingkaran bawah10 cm. Hitunglah luas bahan yang digunakan untuk membuattutup lampu tersebut.Penyelesaian:Untuk kerucut besar →r1= 10 dan s1 = 20Untuk kerucut kecil → r2 = 5 dan s2 = 8Luas bahan = luas selimut kerucut besar - luas selimutkerucut kecil=πr12s1 – r22s2= (3,14 × 10 × 20) – (3,14 × 5 × 8)= 628 – 125,6= 502,4 cm2Latihan 2.31.Nasi tumpeng dengan tinggi 40 cm dan jari-jari alas 10 cm di potongujung atasnya setinggi 8 cm dengan volume 150 cm3. Hitunglah:a.Luas minyak yang digunakan untuk melapisi tumpeng setelahdipotong.b.Volume tumpeng setelah dipotong.2.Suatu kerucut dengan tinggi t dan jari-jari r, terpancung pada tinggi tdari puncak kerucut. Tentukan perbandingan volume kerucut dengan tinggit, volume kerucut kecil, dan volume kerucut terpancung. Apa yang dapatkalian simpulkan?12131314
52Matematika IX SMP/MTsC. BolaPerhatikan gambar di samping.Mengapa dalam olahraga bowling, bendayang dilemparkan berbentuk bola?Apakah kelebihannya sehingga benda-benda berbentuk bola digunakan dalamolahraga sepak bola, bola voli, bowling,dan billiard? Agar dapat lebih mengenalbangun bola, pelajarilah materi berikut ini.Sumber: www.files.turbosquid.comGambar 2.9 Bola bowling1.Unsur-unsur BolaPerhatikan gambar berikut.Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diametersebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang sepertigambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut boladengan jari-jari bola r dan tinggi d.2.Menghitung Luas Selimut dan Volume BolaSebelum mempelajari luas selimut dan volume bola,lakukanlah kegiatan berikut.Gambar 2.10 Unsur-unsur boladr(a)(a)r
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung53Kegiatan 2.2Lakukan kegiatan berikut.1.Siapkan benang, bola dan tabung dengan tinggi dan diameter alasnyasama dengan diameter bola.2.Lilitkan benang pada permukaan bola hingga tertutup sempurna.3.Kemudian gunakan panjang benang tersebut untuk melilit tabung.4.Amati apa yang terjadi dan kemukakan kesimpulanmu.Ternyata dari kegiatan di atas kita dapat merumuskan luasselimut atau permukaan (sisi) bola. Jika jari-jari alas tabungtersebut r dan tingginya sama dengan diameter d, maka luasselimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:Luas sisi bola = (2πr) × d= (2πr) × 2 r= 4πr2Jadi diperoleh:Luas sisi bola = 4πππππr2Adapun volume bola dengan jari-jari r adalahV = π π π π πr3 atau V = π π π π πd3denganr= jari-jari bolad= diameter bolaContoh 2.41.Hitunglah luas sisi bola dan volume bola yang berdiameter11 cm.Penyelesaian:Luas sisi bola = 4πr2= 4 × 3,14 × 5,5 × 5,5= 379,94 cm24316
54Matematika IX SMP/MTsVolume bola= πd3= × 3,14 × 11 × 11 × 11= 696, 56 cm32.Volume sebuah bola 1.400 cm3. Tentukan jari-jari selimutbola.Penyelesaian:V= r31.400= × 3,14 × r31.400= 4,14 r3r3= 334,13r= =6,9 cmLatihan 2.41.Hitunglah luas selimut dan volume dari bola dengan diameter 3,5 cm.2.Hitunglah jari-jari bola jika volume bola:a.376,59 cm3,b.43,699 cm3.3.Hitunglah diameter bola jika luas seluruhnya:a.526,3 cm2,b.37,26 cm2.4.Sebuah mangkuk setengah lingkaran dengan r = 16 cm. Mangkuk itudiisi air sampai penuh. Kemudian, air tersebut dituang ke dalam kalengberbentuk silinder dengan jari-jari sama dengan jari-jari bola. Ternyataair tersebut tepat memenuhi tabung. Berapa tinggi tabung itu?161643163334,13
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung555.Sebuah bandul terdiri dari sebuah kerucut danbelahan bola dengan r = 7 cm, dan tinggi kerucut24 cm. Tentukan volume bandul dan luaspermukaan bandul.6.Sebuah pensil seperti di samping dengan panjangberbentuk tabung 10 cm, ujung berbentuk kerucutdengan panjang 2 cm, dan jari-jari 0,5 cm.Hitunglah luas permukaan dan volume pensiltersebut.D. Hubungan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung dengan Jari-jariPada rumus mencari volume bangun ruang sisi lengkung,semua tergantung pada unsur-unsur bangun tersebut, misalnyajari-jari dan tinggi bangun tersebut.1.Perbandingan Volume Tabung, Kerucut, dan Bolakarena Perubahan Jari-jaria.Perbandingan Volume TabungApabila ada dua buah tabung dengan tinggi yang sama,tetapi jari-jari berbeda, maka perbandingan kedua volumetabung sama dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.V1 : V2= πr12t : πr22t= r12 : r2224 cm7 cm
56Matematika IX SMP/MTsJadiV1 : V2 = r12 : r22denganV1= volume tabung pertamaV2= volume tabung keduar1= jari-jari lingkaran alas tabung 1r2= jari-jari lingkaran alas tabung 2b.Perbandingan Volume pada KerucutApabila ada dua buah kerucut dengan tinggi sama, tetapijari-jari alasnya berbeda, maka perbandingan volume keduakerucut dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.V1 : V2= πr12t : r22t = r12 : r22JadiV1 : V2 = r12 : r22denganV1= volume kerucut pertamaV2= volume kerucut keduar1= jari-jari lingkaran alas kerucut 1r2= jari-jari lingkaran alas kerucut 2c.Perbandingan Volume pada BolaApabila ada dua buah bola dengan jari-jari yang berbeda,maka perbandingan volumenya sama dengan perbandingan dipangkat tiga dan masing-masing jari-jarinya.V1 : V2= r13 : r23 = r13 : r2313134343
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung57JadiV1 : V2 = r13 : r23denganV1= volume bola pertamaV2= volume bola keduar1= jari-jari lingkaran alas bola 1r2= jari-jari lingkaran alas bola 2Contoh 2.51.Dua buah tabung dengan tinggi sama mempunyai jari-jarilingkaran alas 3,5 cm dan 5 cm. Carilah perbandinganvolume kedua tabung.Penyelesaian:V1 : V2= r12 : r22= (3,5)2 : 52= 12,25 : 25= (0,49 × 25) : (1 × 25)Jadi perbandingan volumenya V1 : V2 = 0,49 : 1.2.Diberikan kerucut A dengan rA= 9 cm dan kerucut Bdengan tinggi yang sama dengan kerucut A. Jikaperbandingan volume keduanya adalah 7 : 4.Berapa panjang jari-jari kerucut B?Penyelesaian:VA : VB= rA2 : rB2==.=747492rB281rB2VAVBrA2rB2
58Matematika IX SMP/MTsrB2=rB2=rB2= 46,29rB= = 6,8 cmJadi jari-jari lingkaran alas kerucut B adalah 6,8 cm.3.Dua buah bola dengan jari-jari bola pertama rA dan jari-jari bola kedua rB dengan rB = rA. Carilah perbandinganvolume kedua bola tersebut.Penyelesaian:Jadi perbandingan volume keduanya adalah 27 : 1.81 X 47324746.28-913
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung592.Selisih Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karenaPerubahan Jari-jaria.Selisih Volume pada TabungSebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggit diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r2 denganr2 > r1 dan tinggi tetap. Maka berlaku:V2 – V1= πr22t – πr12t= π(r22 – r12)tJadi selisih volumenya:V2 – V1 = πππππ( r22 – r12)tdenganr1 = jari-jari tabungr2 = jari-jari setelah diperbesarBagaimana jika jari-jari lingkaran alas tabung diperpanjangsebesar k satuan? Berlaku r2 = r1 + k, sehingga:V2 – V1= πr22t – πr12t= π(r1 + k)2t – πr12t=π(r12 + 2kr1 + k2)t – πr12t= π(r12 + 2kr1 + k2 – r12)t= π(2kr1 + k2)t= π(2r1 + k)ktV2 – V1 = πππππ(2r1 + k)ktb.Selisih Volume pada KerucutSebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggit diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r2 denganr2 > r1 dan tinggi tetap. Berlaku:V2 – V1= π(r22t – r12t)= π(r22 – r12)t1313
60Matematika IX SMP/MTsJadi selisih volumenya:V2 – V1 = 13πππππ(r22 – r12)tdenganr1 = jari- jari awalr2 = jari-jari setelah diperbesarBagaimana jika jari-jari kerucut diperpanjang sebesar k satuan?Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:V2 – V1= π(r22t – r12t)= π(r1 + k)2t – πr12t= π((r12 + 2kr1 + k2)t – r12t)= π(r12 + 2kr1 + k2– r12)t= π(2kr1 + k2)t= π(2r1 + k)ktV2 – V1 = π π π π π(2r1 + k)ktc.Selisih Volume pada BolaSebuah bola dengan jari-jari r1 diperbesar sehingga jari-jarinya menjadi r2 dengan r2 > r1. Berlaku:V2 – V1= π(r23 – r13)= π(r23 – r13)13131313131313434313
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung61Jadi selisih volumenya:V2 – V1 = 43πππππ(r23 – r13)denganr1 = jari-jari awalr2 = jari-jari setelah diperbesarBagaimana jika jari-jari bola diperpanjang sebesar k satuan?Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:V2 – V1= 43πr23 – 43πr13= 43π(r1 + k)3 – 43πr13= 43π(r13 + 3r12k + 3 r1k2 + k3) – 43πr13= 43π(r13 + 3r12k + 3r1k2 + k3– r13)= 43πk(3r12 + 3r1k + k2)Jadi selisih volumenya:V2 – V1 = 43πππππk(3r12 + 3r1k + k2)dengan k = perpanjangan jari-jariContoh 2.61.Sebuah bola dengan jari-jari 4 cm diperbesar sehinggajari-jarinya menjadi 7 cm. Berapa selisih volume sebelumdengan sesudah diperbesar?43434343434343434343
62Matematika IX SMP/MTsPenyelesaian:V2 – V1= π(r23 – r13)= × 3,14(73 – 43)= × 3,14(343 – 64)= × 3,14 × 279= 1.168,08 cm32.Volume sebuah kerucut adalah 3.043,5 cm3 dengan jari-jari 20,37 cm dan tinggi 7 cm. Berapakah jari-jari kerucutagar volume kerucut menjadi 5.203 cm3 dengan tinggi yangtetap?Penyelesaian:V2 – V1= π(r22 – r12)t5.203 – 3.043,5 = × × (r22 – 415,02) × 72.159,5= × (r22 – 415,02)= r22 – 415,02294,48= r22 – 415,02r22= 709,5r2= 26,64 cmJari-jari kerucut harus diperbesar 6,27 cm.4343434313132232.159,5x322227
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung63Latihan 2.51.Jari-jari sebuah bola adalah 21 cm. Jika jari-jari bola yang lain x,dengan x lebih panjang dari jari-jari bola pertama dan volume bola kedua49.347 cm3. Tentukan:a.jari-jari bola kedua (x),b.seluruh volume kedua bola.2.Jari-jari sebuah kerucut 5 cm tinggi 17 cm. Sebuah kerucut lain denganjari-jari lingkaran alasnya 23 dari jari-jari lingkaran alas kerucut pertamadan tinggi 13 dari kerucut pertama. Tentukan:a.perbandingan volume kedua kerucut,b.selisih volume kedua kerucut.3.Sebuah kerucut dengan tinggi h dan jari-jari r, di dalamnya terdapat lubangyang berbentuk kerucut dengan jari-jari 12r dan tinggi 12h. Berapakahluas permukaan tabung tersebut?4.Tabung dengan tinggi t = 9 cm. Diisi dengan air sampai penuh. Setelah airdipakai maka volume air menjadi 43 dari volume semula. Jika Lata inginmemindahkan air yang tersisa ke tabung lain sehingga penuh, berapa jari-jari tabung tersebut?5.Sebuah kue tart berbentuk silinder dengan diameter 18 cm dan tinggi25 cm. Kue tersebut diselimuti coklat sehingga volumenya menjadi11.012,53 cm3. Hitunglah jari-jari kue setelah dilapisi coklat.6.Diberikan kerucut dengan diameter 14 cm dan tinggi 19 cm. Agar sebuahbola dengan jari-jari 7 cm dapat masuk ke dalam kerucut sehinggamenyinggung selimut dan alas kerucut, maka bola diperkecil. Hitunglahdiameter bola yang dikecilkan dan perbandingan volume bola sebelumdengan sesudah dikecilkan?7.Sebuah pipa mempunyai panjang 3,5 m, jari-jari luar 7 cm, dan jari-jaridalam 4,5 cm. Berapa volume pipa tersebut?8.Sebuah bandul berbentuk kerucut dengan jari-jari alasnya 7 cm dantingginya kerucut 24 cm. Hitunglah:a.luas bandul,b.berat bandul, jika 1 cm3 = 5 gram.2313121243
64Matematika IX SMP/MTs9.Selimut dari sebuah kerucut dibuat dari karton berbentuk setengahlingkaran. Jika luas karton 77 cm2. Hitunglah:a.jari-jari alas kerucut,b.luas kerucut.10. Perbandingan luas kulit bola dari dua buah bola berturut-turut adalahL1 : L2 = 1 : 9. Berapakah perbandingan volume kedua bola tersebut?Rangkuman1.Luas selimut tabung : L = 2πr (r + t)Volume: V = πr2t2.Luas selimut kerucut : L = πr (s + r)Volume: V = πr2t3.Luas selimut bola : L = 4πr2Volume: V = πr24.Hubungan volume bangun ruang sisi lengkung dengan jari-jaria.Perbandingan volume1)Perbandingan volume tabungV1 : V2 = r12 : r222)Perbandingan volume kerucutV1 : V2 = r12 : r223)Perbandingan volume pada bolaV1 : V2 = r13 : r23b.Selisih volume dua bangun ruang1)TabungV2 – V1 = π (r22 – r12)t2)KerucutV2 – V1 = π (r22 – r12)t3)BolaV2 – V1 = π (r23 – r13)t43131314
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung65Uji KompetensiA. Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan cara memberi tandasilang (X) pada huruf a, b, c, atau d!1.Luas selimut tabung yang panjang diameter alasnya 46 cm dan tinggi 7 cmadalah . . . .a.1.412 cm2c.1.000 cm2b.1.012 cm2d.942 cm22.Diketahui luas selimut sebuah tabung adalah 2.200 cm2. Jika tinggi tabung25 cm dan π =227, maka luas permukaan tabung itu adalah . . . .a.3.432 cm2c.2.239 cm2b.3.234 cm2d.2.214 cm23.Volume tabung yang ukuran diameternya 10 cm, tinggi 8 cm, danπ = 3,14 adalah . . . .a.721 cm3c.586 cm3b.628 cm3d.436 cm34.Luas selimut kerucut yang berjari-jari 14 cm, tinggi 15 cm, dan π =227adalah . . . .a.1.034 cm2c.880 cm2b.902 cm2d.785 cm25.Sebuah kerucut diameternya 18 cm dan tingginya 10 cm (π= 3,14). Volumekerucut = . . . .a.384,0 cm3c.791,4 cm3b.643,8 cm3d.847,8 cm36.Suatu kerucut dibentuk dari selembar aluminium yang berbentuk setengahlingkaran dengan diameter 42 cm. Untuk π =227, maka panjang jari-jarilingkaran alas kerucut adalah . . . .a.8,6 cmc.10,5 cmb.10 cmd.11,6 cm227227227
66Matematika IX SMP/MTs7.Sebuah bola besi dimasukkan ke dalam tabung yang penuh berisi air. Jari-jari tabung sama dengan jari-jari bola, yaitu 10 cm. Sedangkan tinggi tabung19 cm. Jika π = 3,14, maka sisa air di dalam tabung sesudah boladimasukkan adalah . . . .a.3.380,70 cm3c.1.797,33 cm3b.2.742 cm3d.1.779,33 cm38.Gambar di samping menunjukkan sebuahkap lampu berbentuk kerucut terpancung.Luas bahan yang digunakan untukmembuat kap lampu itu adalah . . . .a.2.251,38 cm2b.3.033,24 cm2c.4.903,54 cm2d.5.742,03 cm29.Pernyataan tentang tabung berikut yang benar adalah . . . .a.mempunyai 3 buah rusukb.mempunyai 2 bidang sisic.bidang alas dan bidang atas berupa daerah lingkaran yang sejajardan kongruend.panjang jari-jari lingkaran atas kurang dari panjang jari-jari lingkaranalas10. Perhatikan gambar berikut ini.Luas permukaan tabung tersebut adalah . . . .a.2πr (r + t)b.πr2tc.πrtd.2πrt11. Luas selimut tabung yang panjang jari-jarinya 17 cm dan tinggi 23 cmadalah . . . .a.6.743,67 cm2b.5.744,76 cm2c.5.734,67 cm2d.4.745,80 cm29 cm17 cm21 cm29 cmrt
Bab II Bangun Ruang Sisi Lengkung6712. Keliling alas sebuah tabung adalah 24 cm dan tinggi tabung 15 cm. Untukπ =227, maka luas selimut tabung tersebut adalah . . . .a.230,45 cm2c.423,20 cm2b.360 cm2d.575 cm213. Jika tinggi tabung adalah 19 cm dan panjang jari-jari lingkaran alas tabungadalah 9 cm, maka luas permukaan tabung adalah . . . .a.1.584 cm2c.928,4 cm2b.1.747 cm2d.871,82 cm214. Ditentukan kerucut dengan tinggi 8 cm dan jari-jari alasnya 6 cm. Untukπ = 3,14, maka luas seluruh permukaan kerucut tersebut adalah . . . .a.301,44 cm2c.113,04 cm2b.188,40 cm2d.100,48 cm215. Sebuah bola dimasukkan ke dalam tabung. Diameter bola sama dengandiameter tabung, yaitu 12 cm, tinggi tabung 20 cm, dan π = 3,14. Volumetabung di luar bola adalah . . . .a.523,33 cm3c.1.177,5 cm3b.654,17 cm3d.1.226,08 cm3B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!1.Bangun ruang apakah yang memiliki sebuah bidang (sisi) lengkung, tetapitidak mempunyai titik sudut maupun rusuk?2.Jika luas selimut tabung di samping iniadalah 1.980 cm2 dan π =227, berapakahtinggi tabung tersebut?t48 cm2 272 27
68Matematika IX SMP/MTs3.Panitia suatu acara akan membuat tenda berbentuk kerucut (tanpa alas)dari kain parasut. Tenda yang akan dibuat memiliki diameter 14 m dantinggi 9 m. Apabila biaya pembuatan tenda tiap m2 adalah Rp12.000,00,berapakah biaya yang harus disediakan untuk membuat tenda itu?4.Jika panjang jari-jari kerucut A adalah 2 kali panjang jari-jari kerucut Bdan tinggi kerucut A sama dengan tinggi kerucut B, berapakah volumekerucut A dengan volume kerucut B?5.Volume sebuah kerucut sama dengan volume sebuah bola. Jika panjangjari-jari alas kerucut sama dengan panjang jari-jari bola, yaitu r, dan tinggikerucut adalah t, berapakah t?